Local vol model(1)

이번 글에서는 BSM model의 확장 모델 중 하나인 Local vol model에 대해 살펴보겠습니다.

로컬 볼 모델은 순간 변동성이 상수인 BSM model과 달리 기초자산의 상태 $t,S$에 따라 순간 변동성이 달라지는 모델을 말합니다. 이번 글에서는 그 중에서도 가장 대표적인 Dupire Local vol model에 대해 살펴보겠습니다.

Dupire local vol model은 관찰되는 vanila option 시장을 '재생산' 할 수 있는 Non-parametric model입니다. 즉 Heston model이나 SABR model과 같이 순간변동성이 몇 개의 parameter로 이루어진 explicit한 함수형태로 주어지는 것이 아닙니다. 그렇기 때문에 위 두 모델에서는 필연적으로 관찰되는 모든 바닐라 옵션을 맞출 수 없는 반면 Dupire local vol model은 모든 옵션을 재생산 할 수 있으며 따라서 market model이라 부릅니다.

그럼 Dupire공식을 유도해보겠습니다. 이 유도는 Bergomi 의 stochastic volatility modeling 2.2절을 참고하였습니다.

우선 주가 process를 다음과 같이 가정하겠습니다.
$$dS_t = (r - q) S_t \, dt + \sigma_t S_t \, dZ_t$$

이 때 $\sigma_ t$ 는 임의의 프로세스라는 점에서 이 주가 process는 확장성을 가집니다.

그럼 주어진 행사가격과 만기에 대해 콜옵션 가격은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$C(K, T) = e^{-rT} \, \mathbb{E}\left[(S_T - K)^+\right]$$
이 때 max function에 Ito's lemma를 적용하면 다음과 같이 적을 수 있습니다.

$$\begin{align*}
d (S_T - K)^+ &= \frac{d(S_T - K)^+}{dS_T} \left( (r - q) S_T \, dT + \sigma_T S_T \, dZ_T \right) \\
&\quad + \frac{1}{2} \frac{d^2(S_T - K)^+}{dS_T^2} \, \sigma_T^2 S_T^2 \, dT \\
&= \theta(S_T - K) \left( (r - q) S_T \, dT + \sigma_T S_T \, dZ_T \right) 
- \frac{1}{2} \delta(S_T - K) \, \sigma_T^2 S_T^2 \, dT \quad{(1)}

\end{align*}$$
\

이때 $\theta(x), \delta(x)$ 는 각각 Heaviside, Direc delta 함수를 의미하며 다음과 같이 정의됩니다.
$$\theta(x) = 1\ for\ x>0, \theta(x) = 0\ for\ x < 0$$
$$\delta(x) = 0 \ for\  all\  x \neq 0$$
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1$$
헤비사이드 함수는 정의에도 나타나듯이 Digital option의 payoff와 유사하며 델타함수는 다음과 같이 특정 값을 추출하는 역할을 합니다.
$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - a) f(x) \, dx = f(a)$$
이는 $x \neq a$인 구간에서는 delta함수값이 항상 0을 가지므로 $x = a$ 인 점에서만 $\delta (x-a)dx$ 가 pdf의 역할을 하기 때문입니다.

또한 Ito's lemma는 두 번 미분가능한 함수에 대해서만 적용이 가능하지만, 분포의 관점에서 각각의 1차미분, 2차미분이 Heaviside, Direc delta 함수에 의해 나타내어지기 때문에 Tanaka-formula에 의해 ito's lemma가 적용가능합니다.

이제는 이러한 직관을 이용하면 옵션의 Forward Price에 대해 다음과 같은 표현을 얻을 수 있습니다. 
$$\mathcal{C}(K, T) = \mathbb{E} \left[ (S_T - K)^+ \right] = \mathbb{E} \left[ (S_T - K)\theta(S_T-K) \right]$$$$\frac{d\mathcal{C}}{dK} = \mathbb{E}\left[-\theta(S_T - K) + (S_T - K)\delta(S_T - K)\right]$$
이 때 $$(S_T - K)\delta(S_T - K) = 0$$
입니다. 왜냐하면 $\delta(S_T - K)$ 는 $S_T = K$인 점에서만 0이 아닌 값을 갖는데 그 때 앞에 붙어있는 $(S_T - K) = 0$이기 때문입니다. 그럼 최종적으로 아래 식을 얻습니다.

$$\mathbb{E}[\theta(S_T - K)] = -\frac{d\mathcal{C}}{dK}, \quad 
\mathbb{E}[\delta(S_T - K)] = \frac{d^2 \mathcal{C}}{dK^2} \quad{(2)}$$
이제 식 (1)의 양변에 기댓값을 씌우겠습니다. 그럼 좌변 $d \mathbb{E}[(S_T - K)^+]$ 는 Forward call price의 만기 $T$에 대한 difference로 이해할 수 있으므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 

$$\mathbb{E}[d(S_T - K)^+] = d\, \mathbb{E}[(S_T - K)^+] = \frac{d\mathcal{C}}{dT} \cdot dT$$
$$\frac{dC}{dT} \, dT = (r - q) \left( \mathcal{C} - K \frac{d\mathcal{C}}{dK} \right) dT 
+ \frac{K^2}{2} \, \mathbb{E} \left[ \sigma_T^2 \delta(S_T - K) \right] dT$$
이때 우변의 첫 번째 항은 식 (2)를 이용하여 만든 $\mathbb{E} \left[ S_T \, \theta(S_T - K) \right] = \mathcal{C} - K \frac{d\mathcal{C}}{dK}$ 의 결과를 사용한 것입니다. 그리고 (1)의 $\sigma_T S_T \, dZ_T$ 는 기댓값을 씌우면 0이되어 사라진 결과입니다.

다음으로, 우변의 두 번째 식은 디렉델타 함수가 $S_T = K$ 에서만 0을 갖지 않으므로 $S_T^2 = K^2$ 로 나타내어집니다.

이를 재구성하면 다음 식을 얻습니다.

$$\mathbb{E} \left[ \sigma_T^2 \delta(S_T - K) \right] 
= \frac{2}{K^2} \left( \frac{dC}{dT} - (r - q) \left( \mathcal{C} - K \frac{d\mathcal{C}}{dK} \right) \right)$$

이 때 양변을 델타함수의 기댓값으로 나눠주고 식 (2)를 이용한 뒤 Forward price를 현재 콜옵션의 가치로 바꾸면 아래 식을 얻습니다.
$$\mathbb{E} \left[ \sigma_T^2 \mid S_T = K \right] 
= \frac{\mathbb{E} \left[ \sigma_T^2 \delta(S_T - K) \right]}{\mathbb{E} \left[ \delta(S_T - K) \right]}
= \frac{2 \, \frac{dC}{dT} + q \mathcal{C} + (r - q) K \frac{d\mathcal{C}}{dK}}{K^2 \, \frac{d^2 \mathcal{C}}{dK^2}} \quad{(3)}$$
이 때 조건부 기댓값으로 나타내어지는 이유는 델타함수를 이용한 조건부 기댓값 표현 때문입니다.
$$\mathbb{E}[f(X) \mid X = x] = \frac{\mathbb{E}[f(X) \delta(X - x)]}{\mathbb{E}[\delta(X - x)]}$$
이 때 우리는 $\sigma_T$를 임의의 process를 가정하였으므로, 만약 임의의 process가 모든 $T,K$에 대해 $$\mathbb{E} [\sigma_T^2 \mid S_T = K]$$ 가 우변을 만족한다면 그러한 process는 마켓 모델이 됩니다. 이 때 local vol model은 $\sigma_T$ 를 확률적으로 두지 않고 다만 $S_T = K$일 때 deterministic 하게, 즉 $\sigma_{loc}^2(K,T,S_0)$ 가 식 (3)의 우변의 값을 갖도록 하는 모델을 의미합니다.

 

다음 글에서는 실제로 변동성 곡면을 이용해 로컬 볼 곡면을 산출하는 과정을 살펴보겠습니다.