Delta Hedge1 (BS model)

우리는 앞으로 몇 개의 글에 걸쳐서 파생상품 헷지 trading에 대해 살펴보겠습니다. 아마 파생상품에 관심이 있는 분들이라면 파생상품이 '변동성'을 거래하는 상품이라는 말을 많이 들어보셨을 것입니다. 저 역시 그런 말들을 많이 들어왔지만, 왜 그렇지? 라고 스스로 반문했을 때 만족스러운 답변이 떠오르지 않았던 경험이 있습니다. 이건 마치 금리가 올라가면 채권 가격이 하락하는 것에 대한 이유를 모두가 어렴풋이 느끼지만 이를 직관적으로 설명할 수 있는지는 또 다른 문제인것과 비슷하다고 생각합니다. 따라서 Delta hedge라는 주제에서 저는 몇 번에 걸쳐 왜 파생상품은 변동성을 거래하는 상품이라고 말하는지, 왜 옵션 손익은 실현변동성과 내재변동성의 차이로 나타내어지는지, 블랙숄즈 모델에서 변동성은 상수인데 왜 베가의 개념이 등장하는지, 로컬볼 모델은 어떠한 점에서 손익 계산에 이용되며 이 때 확률변동성 모델은 어떠한 관점에서 사용되는지 등등 저를 포함하여 평소 파생상품에 관심이 있었던 분들이라면 한번쯤 들어보고 관심이 있어할 법한 이야기들에 대해 나름대로 생각한 답을 공유하려 합니다. 여기에 사용된 수식과 배경은 Lorenzo Bergomi 저자의 Stochastic volatility modeling 책을 참고하였으며 책을 읽으며 이해가 안되는 부분에 대해서는 나름의 생각을 적어놓았습니다. 혹시나 잘못된 생각과 추론에 대해서는 독자들께서 편하게 지적 해주시면 감사하겠습니다.

 

Bank Quant가 pricing function $P(t,S)$를 구현하여 이것을 건내받았다고 해보겠습니다. 그렇다면 트레이더는 이것을 이용하여 어떻게 파생 포지션의 리스크 관리를 할 수 있을까요?

 

우선 옵션을 매도한 후 이것을 헷지하는 방법에 대해 고민해보겠습니다. 만약 시장에서 옵션이 거래가 된다면 가장 간단한 방법은 현재 옵션을 매도하고 받은 돈으로 기초자산을 적당히 매수, 그 차액을 빌리거나 투자하는 것입니다. 그럼 짧은 시간 dt동안 델타 헤지의 PnL은 1) 두 시점의 옵션 가격 차이 2) 초기시점 받은 옵션 premium을 무위험 이자율로 투자 3) 주식 가격의 변화분 - 주식을 사기위해 들어간 차입비용 + 주식에서부터 나온 배당으로 분해됩니다. 말로 풀어쓰면 복잡해보이지만 수식으로 정리하면 명확해집니다. 

 

$$P\&L = -\left[ P(t + \delta t, S + \delta S) - P(t, S) \right] + rP(t, S)\delta t + \Delta\left( \delta S - rS\delta t + qS\delta t \right)$$

이 때 ito's lemma를 이용하여  $\Delta =  \frac{dP}{dS}$ 로 두면 $\delta S$ 텀을 없앨 수 있습니다. 그렇다면 손익은 다음과 같이 나타내어집니다.

$$P\&L = -\left( \frac{dP}{dt} - rP + (r - q) S \frac{dP}{dS} \right) \delta t  - \frac{1}{2} S^2 \frac{d^2 P}{dS^2} \left( \frac{\delta S}{S} \right)^2$$

 

그럼 다음 항을 다음과 같이 분리할 수 있습니다.

$$P\&L = -A(t, S)\, \delta t - B(t, S) \left( \frac{\delta S}{S} \right)^2$$

이 때  $A(t, S)\ = \left( \frac{dP}{dt} - rP + (r - q) S \frac{dP}{dS} \right) \delta t$, $B(t, S) = \frac{1}{2} S^2 \frac{d^2 P}{dS^2} \left( \frac{\delta S}{S} \right)^2$이다.

 

만약 임의의 모델이 주어진다면 $A(t,S)$는 deterministic합니다. 왜냐하면 이 항은 세개의 세부 항으로 나타나는데 1) 세타 : 옵션가격의 시간가치는 모델이 주어진다면 바로 계산할 수 있고, 두번째 항인 옵션 프리미엄의 예금 가치또한 t시점에서 구할 수 있으며 주식의 funding cost와 배당 또한 알려져 있다면 세 번째 항도 구할 수 있기 때문입니다.

 

반면 $B(t,S)$항은 $\left( \frac{\delta S}{S} \right)^2$ 즉 실제로 기초자산이 '얼마나'변했는지에 의존하므로 deterministic 하지 않으며 다시말해 t시점에서 알 수 없습니다. 실제로 다음날이 되어봐야 그 사이에 움직인 정도를 알 수 있는 것이지요.

 

만약 A와 B가 모두 0보다 크면, 우리의 손익은 실제 주가의 변화 $\delta S$와 관계없이 항상 손실을 보며 반대의 경우 항상 이득을 봅니다.  따라서 두 값의 부호는 반대가 되어야하며 이것이 옵션거래에서의 무차익거래 조건입니다.

이제 여기서 한 가지 가정을 추가하겠습니다.

 

주가 수익률에 대해 잘 알려진 사실은 수익률 자체는 예측할 수 없지만 그 분산은 비교적 일정하다는 것입니다. 그럼 $\left( \frac{\delta S}{S} \right)^2$의 실현변동성의 Quadratic variation,즉 변동성이 실제로 움직인 경로들의 average값을  $\hat{\sigma}^2 \delta t$라고 가정하겠습니다. 이때 $A(t,S)$는 deterministic하다는 점을 기억해주세요.

 

 

리스크 관리의 관점에서 헷지된 포지션의 $P\&L$의 기댓값이 0이 되기를 원하므로 다음과 같이 둘 수 있습니다.

$$A(t,S) = -\hat{\sigma}^2B(t,S) \quad{(1)}$$

그럼 이를 이용한다면 실제 $P\&L$은 다음과 같이 나타내어집니다.

$$P\&L = -\frac{S^2}{2} \cdot \frac{d^2 P_{\hat{\sigma}}}{dS^2} \left( \frac{\delta S^2}{S^2} - \hat{\sigma}^2 \delta t \right)$$
이는 발현된 $\left( \frac{\delta S}{S} \right)^2$ 의 값이 미리 구한 $\hat{\sigma}^2 \delta t$ 에 비해 큰지, 작은지에 따라 손익의 부호와 크기가 달라진다는 것을 의미합니다. 만약 실제 시장에서 옵션이 거래되어 가격이 나타난다면, $\hat{\sigma}^2$ 는 implied vol이 된다. 즉, imvol은 헤지운용에 있어 break-even vol의 의미를 갖습니다.

*여기서 조금 저자와 생각이 다른 부분이 있습니다. 만약 옵션이 거래가 되지 않는다면, historical vol의 추정치 $\hat{\sigma}^2$가 변하지 않는다고 가정하더라도(즉 변동성이 확률적이지 않더라도) $P\&L$ 의 기댓값이 0이 되도록 설정하는 것은 적절하지 않습니다. 왜냐하면 발현될 $\left( \frac{\delta S}{S} \right)^2$ 는 여전히 확률적이기에 트레이더는 위험을 지고 있는 것이기 때문입니다. 따라서 실제로는 risk premium이 추가된 $\hat{\sigma}^2 + \alpha$ 를 (1) 식에서 $B(t,S)$ 의 계수로 두어야 적절하며 그렇기 때문에 저는 실증적으로 implied vol이 과거 realized variance보다 높다는 것에 이 부분이 기여한다고 생각합니다. 다만, 제가 생각하기에 저자는 이후 이산적 델타 헤지를 논하기 때문에 그 과정에서 이를 설명하려고 했다고 생각합니다.

 

** 그렇기 때문에 implied vol은 $P\&L$을 0으로 맞추는(risk-neutral 의미에서의) 공정한 break even vol입니다. 즉, short gamma입장에서는 실현 변동성이 (변동성 추정치보다 높은)imvol보다 높아야 손실이 발생하므로 이러한 risk-premium이 imvol에 반영되어있다고 이해할 수 있습니다.